中华优秀传统数学文化融入初中数学教学的若干路径

 　　摘要：让中华优秀传统文化进中小学课程(教材)，不仅仅是一句口号。中国古代数学有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向。其中不乏与中小学数学课程密切相关的内容。从新知引入、问题设计、概念辨析、定理证明、公式推导以及德育实施六个方面，说明中国古代数学史上的问题、概念、思想、方法以及人物故事等在初中数学教学中的具体应用。

　　关键词：中国古代数学史;中华优秀传统文化;数学文化;初中数学

　　《教育观察》杂志(CN:45-1388/G4)内容丰富、思想健康，自2012年创刊起，目前以周刊形式发行，刊物对外积极扩大宣传，致力于提高杂志质量与影响。

　　科学史家萨顿(G.Sarton，1884—1956)说过，科学史是文化史的核心。在提倡中华优秀传统文化进中小学课程(教材)的当下，中国古代科学史料业已成为重要的中小学课程资源。

　　中国古代数学(以下简称“中算”)有着悠久的历史、辉煌的成就和独特的价值取向。十进位值制记数法、分数四则运算、比例算法、平面多边形面积、多面体体积、线性方程组的解法、天元术、开高次方、高次方程数值解、一次同余组的解法……都曾是领先于世界的数学杰作，其中不乏与中小学数学课程密切相关的内容。本文试从新知引入、问题设计、概念辨析、定理证明、公式推导以及德育实施六个方面，说明中算史上的问题、概念、思想、方法以及人物故事等在初中数学教学中的具体应用。

　　一、新知引入方面

　　运用中算史料引入新课的方式有问题引入、方法引入、法则引入等。

　　有关方程的主题，可以采用中国古代数学名题来引入。例如，可用学生耳熟能详的“鸡兔同笼”或“僧分馒头”问题来引入二元一次方程，或用《唐阙史》中记载的一道“公务员”考试题来引入：“一位行人傍晚经过一片树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在討论分赃之事。只听得一个窃贼说：‘每人6匹(布)，则多出5匹;每人7匹，则少了8匹。’试问：共有几个窃贼，几匹赃物?”学生之前接触过类似的问题，且能够用算术方法或一元一次方程加以解决。但在只设一个未知数的情况下，呈现数量关系并不简易，列方程显得很不方便;而引入两个未知数后，用符号语言呈现数量关系就变得一目了然，从而可以揭示多设一个未知数的必要性。

　　有关几何定理的主题，可以采用公式或方法来引入。例如，《九章算术》中给出了“圭田”(三角形)的面积公式“半广以乘正从”(半底乘高)。对此，刘徽(约225—约295)的推导方法是“半广知，以盈补虚为直田也”，也就是通过“以盈补虚”(出入相补，如图1所示)，将三角形转化为矩形，从而得到三角形的面积公式。据此，教师可以从《九章算术》中的三角形面积公式出发，让学生推导公式，从中引出中位线概念，并由此猜想中位线与底边的位置和大小关系。

　　有关有理数运算的主题，可以采用运算法则来引入。《九章算术》中的“正负术”给出了有理数的加减运算法则：做加法运算时，“异名相除，同名相益”;做减法运算时，“同名相除，异名相益”。例如，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2(异名相除)，(-5)+(-3)=-(5+3)=-8(同名相益)，(+5)-(+3)=+(5-3)=+2(同名相除)，(+5)-(-3)=+(5+3)=+8(异名相益)。可见，正负数相加减，可以通过去符号后的数相加减，结果再加上一个符号来完成。因此，我们需要给正数或负数去符号后的数取个名字。由此，可以引出绝对值的概念。

　　二、问题设计方面

　　根据数学史料编制数学问题的策略，有再现式、情境式、条件式、目标式、对称式、串联式和自由式七种。

　　再现式指的是直接采用历史上的问题，除了文字翻译以外，原题中的条件和目标保持不变。以《九章算术》为代表的中国古代数学典籍往往都是以问题集的形式呈现的，为今日的数学教学提供了丰富多彩的问题。

　　以二元一次方程组为例，中国古代数学文献记载了很多典型的二元问题——

　　盈亏问题。这类问题的解法被《九章算术》列为数学的九个门类之一。例如：“今有共买鸡，人出九，盈一十一;人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何?”程大位(1533—1606)在《算法统宗》中也收录了这类问题。例如：“我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。”用今天的代数符号表达，这类问题涉及的方程为a1x+b1=y，

　　a2x-b2=y(ai>0，bi>0，i=1、2)。

　　合成问题。这类问题涉及两种不同物质的重量或两种不同商品的价格的计算。例如，《九章算术》提出：“今有玉方一寸，重七两;石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问：玉、石重各几何?”用“盈不足术”解决。再如，《算法统宗》提出：“今有布绢三十疋，共买价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十。欲问绢布各几何，价钞各该分端的，若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑。”将问题归入“方程”类，用今天的代数符号表达，这类问题涉及的方程为x+y=c，

　　ax+by=d(a>0，b>0，c>0，d>0)。

　　群物问题。这类问题涉及两种物品的价格、容积的计算。例如，《九章算术》记载：“今有大器五、小器一，容三斛;大器一、小器五，容二斛。问：大、小器各容几何?”“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何?”《孙子算经》记载：“今有兽六首四足，禽二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何?”用今天的代数符号表达，这类问题涉及的方程为a1x+b1y=c1，

　　a2x+b2y=c2(ai>0，bi>0，ci>0，i=1、2)。

　　互给问题。这类问题说的是，已知甲、乙二人互给对方部分钱后各自拥有的钱数，求二人原有的钱数。例如，《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问：甲、乙持钱各几何?”用今天的代数符号表达，这类问题涉及的方程为x+m1n1y=c，

　　y+m2n2x=d(mi、ni∈N*，mi与ni互素，i=1、 2)。

　　教师可以按照不同类型来选取史料中的问题，作为二元一次方程组的例题或习题。

　　但在很多情况下，需要采用有关策略对古代问题做适当的改编，或根据史料编制全新的问题。

　　例如，根据《九章算术》中的“勾股容方”问题(“今有勾五步，股十二步，问勾股容方几何?”)，运用条件式策略和串联式策略，可以设计关于相似三角形应用的问题：

　　1.如图2，已知直角三角形的勾和股分别为a和b，求与直角三角形有公共直角的内接正方形的边长。

　　2.如图3，已知锐角三角形的底和高分别为a和h，求锐角三角形内接正方形的邊长。

　　3.根据上题结果，你能用直尺和圆规作出锐角三角形的内接正方形吗?

　　自由式是根据史料来设定条件和目标，与其他策略相比，发挥的空间更大。

　　例如，刘徽用两种方法证明了《九章算术》中的“勾股容圆”公式(直角三角形的内切圆直径为直角边长乘积的2倍除以直角三角形的周长)。

　　第一种方法是，从直角三角形的内心出发，将直角三角形分割成两对小直角三角形和一个小正方形(如图4所示)，用4对同样的小直角三角形各拼成4个长方形，用4个同样的小正方形拼成一个大正方形，再将它们拼成一个长为直角三角形的周长、宽为所求内切圆直径的大长方形。根据图4，可以设计如下问题：

　　1.已知BD=3，AE=4，求Rt△ACB的面积。

　　2.已知CD=1，BD=x，AE=y，求(x-1)(y-1)的值。

　　第二种方法是，过直角三角形的内心作斜边的平行线(如图5所示)，利用相似三角形的性质以及比例的性质求得内切圆的直径。具体地，设CB=a，CA=b，AB=c，内切圆的半径为r，因为Rt△GEO与Rt△ACB相似，故得ra=GEb=GOc，由等比定律得ra=r+GE+GOa+b+c=ba+b+c，于是得r=aba+b+c。这里，刘徽利用了结论OG=AG，但没有说明为什么这个结论成立。据此，可以设计以下问题：

　　1.如图5，已知O为Rt△ACB的内心，过点O作斜边AB的平行线，分别交AC和BC于点G和H，证明：OG=AG，OH=BH。

　　2.如图5，在Rt△ACB中，CB=5，CA=12，DH=x，EG=y，已知x+y=7112，求x和y。

　　三、概念辨析方面

　　中算史料在数学教学中也可用于概念的辨析。

　　例如，关于二元一次方程组是否只能含两个二元一次方程，不同教材的说法不一。我们可以从刘徽的定义中寻找答案。刘徽注《九章算术》时指出：“群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”根据刘徽的方程(即今天所说的方程组)定义，二元一次方程组含两个方程——有几个未知数，就有几个方程。也就是说，刘徽定义的方程是适定的。我们可以沿用刘徽的定义。

　　刘徽的定义也为我们揭开了方程中“方”的含义。例如，前述《九章算术》中的牛羊问题(属于物群问题)的方程表达如图6所示。由于古人书写文字(摆算筹)是自上而下、自右而左的，按照我们今天的写法，就是图7所示的增广矩阵。所以，“方程”表达的是数量关系，但呈现的是方阵的形状——实际上，现代高等数学中的矩阵正源于方程。

　　虽然我们今天使用的大多数数学名词都是西方数学的译名，但也有不少名词源于中国古代数学，不过内涵已发生了变化，如“小数”“幂”之类。

　　四、定理证明方面

　　平面几何教学中，可以用中国古代数学家的方法证明一些定理。通常有以下两种情形：

　　首先，中国古代数学家证明了某个定理，教师在教学中可以用同样的方法证明同样的定理。例如，关于勾股定理，可以用赵爽(约182—约250)的“弦图”或刘徽的“出入相补”方法，分别如图8、下页图9所示。

　　其次，教师在教学中可以用中国古代数学家证明某个定理的方法证明别的定理。例如，杨辉(约13世纪中叶)曾用“勾中容横、股中容直”原理(如下页图10，O是矩形ABCD对角线上一点，过点O分别作一组邻边的平行线PQ、RS，则SOPDS=SOQBR)推导测量日高的公式。教师在教学中可以用同样的原理证明三角形一边平行线定理：如图11所示，在△ABC中，已知FG∥BC，AD为BC上的高，由“勾中容横、股中容直”原理，知SFD=SFM，SGD=SGQ，得SNI=SMR，即FG·AD=BC·AE，有FGBC=AEAD，又由FEBD=EGDC=AEAD以及勾股定理，可得AFAB=AGAC。

　　五、公式推导方面

　　代数教学中，可以用中国古代数学家惯用的方法推导某些公式。

　　例如，杨辉在《田亩比类乘除捷法》一书中记载了以下问题与解法10871089。：(1)“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何?术曰：四因积步，以差步自乘，并而开平方除之，得长阔共步。”意思是，已知长方形的面积为864步(平方)，长宽之差为12步，求长宽之和;如图12所示，将四个长方形连同以长宽之差为边长的小正方形拼成一个大正方形，其边长即为长宽之和，故得所求长宽之和为4×864+122=60(步)。(2)“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?术曰：四之积步，减和自乘之积，余，开平方除之，得长阔差步。”意思是，已知长方形的面积为864步(平方)，长宽之和为60步，求长宽之差;同样利用图12，可得长宽之差为602-4×864=12(步)。

　　这里，杨辉的几何解法实际上对应于解一元二次方程的配方法(该方法可以上溯至赵爽的《〈周髀算经〉注》)：如图13所示，若所解方程为x2+px=q，则对方程变形得4x(x+p)=4q，进一步变形得4x(x+p)+p2=p2+4q，即(2x+p)2=p2+4q ，于是原方程的正根为x=-p+p2+4q2;类似地，方程x2-px=q的正根为x=p+p2+4q2。

　　六、德育实施方面

　　中国古代数学家的故事是数学教学中实施德育的理想素材。

　　例如，教学“平方差公式”时，可以在引导学生用几何方法证明平方差公式后，将学生的方法进行古今对照，指出其中一种方法(如下页图14所示)是三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时给出的;接着，讲述布衣数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”的故事，告诉学生：古代数学家为生计而辛劳，却珍惜光阴，勤奋钻研学问，最终取得杰出成就。

　　再如，中国古代数学文献中的一些测量问题是教学“相似三角形应用”的理想素材。早在西汉时期，天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”。如图15所示，用长度为a的竿子(“表”)在间距为d的两个地点测日影，得影长s1和s2，则日高为H=a+ads2-s1。由于大地并非如西汉时期人们想象的那样是“平”的，故用上述公式测日高显然是荒唐的。到了三国时期，刘徽将“重差术”用于海岛高度的测量，并著《海岛算经》一书。南宋时期，杨辉在阅读《海岛算经》时，对“重差术”产生了浓厚的兴趣。他在《续古摘奇算法》一书中写道：“辉尝置海岛小图于座右，乃是先贤作法之万一。”可想而知，杨辉每天对着海岛小图苦思冥想，寻求古人“秘旨”，直到有一天，终于恍然大悟，获得了“重差术”的推导方法。杨辉所据即上文所说的“勾中容横、股中容直”原理。利用该原理，图15中有两对等面积的矩形，分别相减，即得“重差术”。杨辉的故事，可以让学生看到古代数学家精思致力、孜孜以求的探究精神。

　　又如，徐光啟(1562—1633)翻译《几何原本》的故事是初中平面几何序言课的好素材。利玛窦(M.Ricci，1552—1610)在汉译《几何原本》(前六卷)的序言中说道：“客秋，乃询西庠举业，余以格物实义应。及谭几何家之说，余为述此书之精，且陈翻译之难及向来中辍状。先生曰：‘吾先正有言，一物不知，儒者之耻。仅此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之!呜呼!吾避难，难自长大，吾迎难，难自消微，必成之。”利玛窦的这段回忆中，我们看到徐光启当时心中那份沉甸甸的责任感和攻坚克难的巨大勇气。今天的学生完全可以从古代数学家的故事中汲取精神的力量。

　　七、结语

　　以上我们看到，让中华优秀传统文化进中小学课程(教材)，不仅仅是一句口号。就数学教学而言，作为传统文化不可分割的一部分，中算史为教师提供了丰富多彩的素材和思想养料，可以用于各种课型和课堂教学的各个环节。和世界数学史料所具有的教育价值一样，中算史可以帮助教师构建知识之谐、彰显方法之美、营造探究之乐、实现能力之助、展示文化之魅，而在达成德育之效方面更具有独特的优势。

　　就像一个人的思维方式会打上民族文化的烙印一样，一个国家的数学教育也绝不可能脱离本国的历史和文化。诚然，中国古代数学注重实用，注重算法，没有建立起自己的演绎体系，但这绝不是我们数典忘祖、崇洋媚外的理由。中国古代数学文化博大精深，本文所举只是沧海一粟。我们有理由相信，教育取向的中算史研究、中算史融入数学教学的实践和评价都将是未来HPM领域的重要课题。

《中华优秀传统数学文化融入初中数学教学的若干路径》

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