GM(1,1)模型在建筑物变形预测中的应用

　　【摘要】：本文通过对某楼群变形预测的实例，阐述了如何利用现场采集的数据信息，按灰色理论的GM(1，1)模型建立预测模型，及时对建筑物变形进行预测预报的方法。
　　【关键词】：GM(1，1)模型；累加生成；灰色理论
　　
　　0引言
　　近年来，随着城市建设的发展，各种大型或超大型工程建筑物拔地而起，对其进行变形监测及分析预报，势在必行，在诸多变形统计模型中，灰色理论的GM(1，1)模型，以不必知道原始数据分布的先验特征，只要数列有4个以上从现场采集的监测数据，就可通过生成变换来建立模型的特点，普遍被人们所接受，本文以某楼群为例，谈一下GM(1，1)模型在工程建筑物变形预测中的应用。
　　1GM(1，1)模型的建立
　　建筑物的变形一般包括：沉降、平移、挠曲和倾斜，多数情况下，建筑物变形又多属于单调递增，呈现出渐变到突变的过程，我们就可以现场采集的位移监测数据为基础，利用以获得的信息建立预测模型。
　　1．1数据生成
　　建立等时间间隔的离散函数：
　　={,,……,}-----------------------------------⑴
　　其中：K表示观测次序，经累加生成1—AGO，一次累加生成数列：
　　={,,……,}-----------------------------------⑵
　　其中：=
　　1．2GM(1，1)模型建立
　　灰色GM(1，1)模型白化微分方程为：
　　＋＝u--------------------------------------⑶
　　式中：a、u“为待定系数。
　　待定系数向量=[a，u]T的最小二乘解为：
　　=----------------------------------⑷
　　式中：X为累加生成矩阵。
　　x=--------------------------------⑸
　　YN为原始数列矩阵。
　　YN=[,,……,]T---------------------------------⑹
　　由微分方程(1)式求解所得到的GM(1，1)预测模型为：
　　①时间响应为:=(－)+--------------------------⑺
　　②离散响应为:=(－)+---------------------⑻
　　1．3GM(1，1)模型精度的后验差检验
　　1．3.1将GM(1，1)建模法求出的转化成原始序列的估值。
　　1．3．2计算残差
　　e(k)=(K)-(K) --------------------- ⑼
　　得残差向量e(e(1),e(2),……e(n))。
　　1．3．3计算原始数列及残差数列
　　e的方差，即：
　　=2---------------------------------------------⑽
　　=2--------------------------------------------⑾
　　其中，=,=.
　　1．3．4计算后验差比值C和小误差概念p
　　①后验差比值CC：S2／S1；②P=P{<0.6745s1}---------------------⑿
　　1.3.5模型精度评定
　　模型精度由c和p共同刻划,一般地我们将模型精度分为四级,见表(1).
　　模型精度等级 p c
　　1级(好) P≥0.95 C≤0.35
　　2级(和格) 0.80≤p＜0.95 0.35＜c≤0.50
　　3级(勉强) 0.70≤p＜0.80 0.50＜c≤0.65
　　4级(不和格) p＜0.70 C＞0.65
　　2预测实例
　　2004年5月丹东市某山地楼群因一侧城市道路拓宽改造，道路标高下降，使楼群悬于10m高的陡坎之上，楼群因自重和载体使基础出现裂缝，最大裂纹为4mm,,楼群能否继续正常使用,成为市政府和居民关心的焦点问题,受市建委的委托,我们对该楼群基础裂纹进行了沉降观测，现场采集的监测数据如下表：
　　表1
　　观测点号 1 2 3 4 5 6
　　累积裂纹宽 1.2mm 1.8mm 3.18mm 4.3mm 6.2mm 8.7mm
　　利用现场所采集的监测数据,建立预测模型,对楼群基础稳定情况进行预测预报,为政府决策提供科学的理论依据.
　　2．1预测模型的建立及精度分析
　　2．1．1建立预测模型：
　　X=----------------------------⒀
　　YN=(1.8，3.18，4.3，6.2，8.7)T---------------------------------------------⒁
　　待定系数向量=［au］T=［］
　　即:a=-0.348664,u=1.308899,u/a=-3.754041,(－)=1.2+3.754041=4.954041
　　将上述各系数代入(5)式,则预测模型为：
　　=4.954041－3.754041+式中:为预测系统的起始值,这里裂缝的初始宽度为=4mm.
　　2．1．2预测模型拟合残差分析
　　 表2 
　　序列 1 2 3 4 5 6
　　裂纹原始
　　累积值(mm) 1.2 1.8 3.18 4.3 6.2 8.7
　　预测值(mm) 1.20 2.06 2.94 4.15 5.88 8.33
　　残差(mm) 0 -0.26 0.24 0.15 0.32 0.37
　　残差百分%  14.4 7.5 3.5 5.2 4.3
　　为了对预测模型拟和残差进行分析,我们将灰色预测位移模型值与实际观测值进行比较,其最小残差为0,最大残差为0.37mm,详见图1和表2所示.
　　2．1．3预测模型精度检验
　　表3
　　残差均
　　值(mm) S2 S1 C P 精度
　　等级
　　0.14 0.23 2.58 0.09 1 好
　　根据后验差检验,小误差概念p=1＞0.95,后验差比值C=0.09＜0.35,预测模型精度为Ⅰ级,见表3,表明利用所建立GM(1，1)模型,对楼群基础裂纹进行预测是可行的
　　2．2预测预报
　　利用建立的预测模型=4.954041－3.754041+4，对楼群进行了预测，得出10天后楼群基础裂纹宽可达0．27m，将有倒塌危险的结论，及时向建委和有关部门反映，采用水泥打孔灌浆加固楼群地基，对边坡使用混凝土锚杆挡墙的方法，既保住了楼群又保证了城市道路拓宽工程的顺利进行，预测数据见表4,变形位移,楼群基础破坏预测曲线见图1.
　　表4
　　时间序列 6 7 8 9 10
　　预测值(mm) 36.38 53.12 76.85 110.47 158.12
　　AGO处理值
　　(mm)  20.74 27.73 37.62 51.65
　　时间序列 11 12 13 14 15
　　预测值(mm) 225.67 321.36 456.99 649.19 921.59
　　AGO处理值
　　(mm) 71.55 99.69 139.63 196.2 276.4
　　
　　3结束语
　　GM（1，1）预测模型与回归分析相比有着：样本小；不要求样本有典型分析；建模时间短等特点。它在建筑物变形预测中，将有着广阔的前景，但我们也要根据实测数据的逐渐增多，及时修正预测模型，为决策部门提供及时科学的预测，以采取应急措施。
　　参考文献：
　　[1]严智渊．戴玉生编著.灰色系统预测与应用[J]．江苏科学技术出版社，1989;
　　[2]陈永奇．吴子安.吴中如编著.变形监测分析与预报[J]．北京：测绘出版社，1998.

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