用EXCEL迭代求解Morgenstern-Price法的方法及应用

　　摘要：首先推导Morgenstern-Price法差分格式，在Excel表格中编写Morgenstern-Price差分求解公式；在Autocad中对计算剖面分条，量测各土条侧边顶底点坐标，把所得坐标复制到Excel指定表格中，计算得到稳定系数、水平条间力等。算例分析表明，该方法简单易行，可操作性强，计算结果满足工程要求。
　　关键词：极限平衡法，EXCEL迭代，Morgenstern-Price法，稳定系数
　　
　　1．引言
　　目前，建立在极限平衡原理基础之上的条分法一直是边坡稳定性分析计算的主要手段[1]。在极限平衡法中，Morgenstern-Price法全面考虑了力与力矩平衡[2、3]，是一种严格的计算稳定性的方法，且适用于任意形状的滑动面，但该方法要用Newton-Raphson迭代法进行迭代求解，编写Newton-Raphson迭代程序较为复杂。在工程实际中还没有广泛应用。
　　L.H.Chen[4]在Excel中编写Newton-Raphson求解法，使用Autocad软件加载Autolisp程序采集图形几何信息，得出稳定系数等计算结果，但Autolisp及Excel程序编写仍然较复杂。
　　鉴于此，本文使用Excel电子表格编制Morgenstern-Price差分法公式，得到稳定系数、水平条间力等稳定性指标，有利于Morgenstern-Price法进一步广泛应用。
　　2．Morgenstern-Price法的差分格式的推导
　　在图1的坐标系下，Morgenstern-Price法的力和力矩平衡公式分别如式(1)和式(2)：
　　
　　图1Morgenstern-Price法条块分析示意图
　　(1)
　　(2)
　　其中：E为条块间的水平推力，X为条块间的垂直剪力，c为有效粘聚力，为有效摩擦角，y为滑动面函数，yE为推力线位置函数，u为滑面上的孔隙水压力。
　　在求解过程中，该方法假定土条垂直剪力与法向作用力为：
　　
　　底滑面方程为：
　　土条重为：
　　对侧向力之间关系函数假定为：
　　
　　将已知条件代入（1）式推导后可得：
　　
　　该式仅在[xi,xi+1]内成立，属于边值问题，边界条件为：
　　
　　
　　该微分方程的解为：
　　
　　其中C为待定常数。
　　将上式中的x看成局部坐标，以条块左边界为原点，当x=0时，，则
　　(3)
　　将（2）式变换得：
　　
　　通过积分推导后可得：
　　(4)
　　采用差分格式，若用x表示每一条的宽度，则(3)和(4)式中有关项中的x用x代替，得
　　(5)
　　(6)
　　式(5)和(6)为Morgenstern-Price法的显式求解公式。式中包含两个未知量F和，初始边界条件是E0=0，M0=0；最后一个土条的边界为En=0，Mn=0。首先给定E0=0，M0=0，逐条依次求解，最终求得En和Mn，调节F和，使En=0，Mn=0，此时的F和就是要求的收敛解，该求解步骤可在Spreadsheet下很容易实现。
　　3．在EXCEL下的求解格式
　　在Excel表格中，首先输入基本数据，即滑体中各土条侧边顶底点坐标、分层线坐标和水位的坐标，及滑坡体重度和强度指标。各土条的几何尺寸可通过Autocad直接量测，然后在文本窗口中，复制各点坐标，粘贴到电子表格中。
　　在Excel中编写上述公式，见图2，计算滑体各土条的宽度及水位线上下各土条的面积，求出土条重，计算式中的p、q、k、m值，再求出上式的K、L、M、N，即Ei值递推得解。同样，力矩公式也可按此法编写。
　　图2Morgenstern-price法Excel求解表达式
　　4．实例计算
　　沿江路小商品市场滑坡位于三峡库区巴东县西壤坡新城区境内，总体地势南高北低，呈上宽下窄的梯形展布，后缘宽140m，前缘宽78m，滑坡轴向长250m，相对高差74m，主滑方向307。斜坡为顺向坡，坡度25°~45°。
　　滑体主要为第四系松散堆积层及三叠系中统巴东组(T2b2)地层。滑体内有二层滑带（图3），浅层滑带以上以碎石土和块石土为主，浅层滑带和深层滑带之间为碎裂岩。
　　浅层滑带为青灰色泥化带，厚度较薄，该层滑体平均厚度13m，最厚20.5m，滑带后陡前缓，后部坡度为20，中部及前缘坡度为9。
　　深层滑带青灰色泥化带，厚度不均，在破碎岩体中，顺层滑动，平均埋深30m，滑带后陡前缓，后部坡度为38；中部及前缘坡度为10。在钻孔和探井中未见稳定地下水，但滑带处有渗水，钻孔探井揭露出的滑动带在天然条件下都处于饱和、软塑状态。
　　
　　图3滑面位置、滑块划分图
　　根据勘察报告，滑带及滑体的参数取值见表2。
　　
　　
　　表2岩土计算参数表
　　滑体 重度(kN/m3) 滑带 强度参数
　　 天然 饱和  c(kPa) φ(°)
　　碎石土 18.9 19.5 浅层 20.0 12.5
　　碎裂岩 23.9 24.5 深层 20.0 12.5
　　因为二层滑带成分基本相同，且性状特征也极其相似，所以取同样的强度参数。
　　计算工况根据《三峡库区三期地质灾害防治工程地质勘查技术要求》[5]的7.1.5条，对非涉水项目采用两种工况：
　　工况1：自重+地表荷载
　　工况2：自重+地表荷载+20年一遇暴雨
　　地表荷载是按建筑物高度及所占面积，换算成对应土条的高度，乘以重度，叠加到其所对应的土条上。为简化计算，20年一遇暴雨按入渗深度2m计，乘以饱和重度，叠加到各土条上。由于滑带处于饱和状态，降雨时未对滑带强度进行折减。稳定系数计算结果见表3。
　　表3各种工况下的稳定系数
　　工况 滑体 Morgenstern-
　　price法 不平衡
　　推力法
　　  Fs λ值 报告结果
　　1 浅层 1.3356 0.2554 1.309
　　 深层 1.0589 0.2830 1.100
　　2 浅层 1.3335 0.2552 1.307
　　 深层 1.0632 0.2833 1.098
　　小商品市场滑坡勘察报告中的稳定性评价使用不平衡推力法。从表3可看出，本文所求的浅层滑体稳定系数比勘察报告的结果略大，深层滑体稳定系数比报告结果略小。
　　浅层与深层滑体的稳定性相差较大。浅层滑体后部薄前缘厚，下滑力小抗滑力大，稳定系数相对较大，深层滑体前后部的厚度相差不大，所以深层滑体稳定性相对较差。
　　浅层与深层滑体的稳定性分别对应，降雨时，大部分降雨沿地表径流，在浅层破碎滑体中入渗的水仅是一小部分，对整体稳定性影响不大。
　　
　　图4土条水平条间力图
　　从土条间法向应力即水平条间力图4可看出，浅层与深层滑坡水平条间力都存在一个从小到大再减小的趋势，即在滑体中部，应力相对较大，到滑坡体前缘，水平条间力又减小到零。因此，浅层滑体处于稳定状态，但深层滑体处于基本稳定状态。在坡体上的工程建设对深层滑体有不利的影响，其稳定性达不到工程重要性所要求的安全标准。因此应对其治理。
　　5．结论
　　用Autocad和Excel迭代求解Morgenstern-price法计算滑坡稳定性。通过Excel计算对各操作步骤一目了然，能加深与加强对计算原理的理解。公式的推导过程简单易懂，易掌握，计算结果满足工程要求，因此具有推广价值。
　　参考文献
　　[1]郑颖人，杨明成，边坡稳定安全系数求解格式的分类统一[J].岩土力学与工程学报，2004,23(16)：2836～2841[5]《三峡库区三期地质灾害防治工程地质勘查技术要求

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