基于背景值优化的灰色GM(1,1)模型在参考作物腾发量预测中的应用研究

　　摘要：参考作物腾发量是计算作物需水量的重要参数。对参考作物腾发量的准确预测对制定合理的灌溉用水计划以及优化配置水资源等具有重要的意义。本研究利用基于背景值优化后的灰色GM(1,1)预测模型对阜新市参考作物腾发量进行预测。结果表明：改进后的灰色GM(1,1)预测模型精度较原始的灰色GM(1,1)预测模型有了明显的提高，为参考作物腾发量的预测提供了一种新方法。
　　关键词：灰色GM(1,1)模型；背景值；参考作物腾发量；预测模型
　　
　　1引言
　　作物需水量是预测灌溉用水量、制定合理灌溉用水计划的基础。而参考作物腾发量是计算作物需水量的一个重要参数。故精确的预测参考作物腾发量对合理优化配置水资源具有重要的意义[-]。
　　影响参考作物腾发量的因素包含已知因素同时也包含一些未知因素，所以可以看作为一个灰系统。故灰色系统分析方法在参考作物腾发量的分析预测上有一定的适用性。目前，学者们已经对参考作物腾发量的预测模型进行了大量的研究。大部分的预测模型都是以历史数据为基础，对历史数据的潜在规律进行分析，同时利用数学方法建模，其中灰色预测模型就是一种很常用的数学模型[-]。
　　灰色预测模型中最常用的就是常规的灰色GM(1,1)模型。大量的研究表明该方法在预测时存在一定的缺点。在求解模型参数a和b时需做紧邻均值生成序列，该模型中令，其中取=0.5，这表明新旧数据对系统发展的作用是均等的。而由新陈代谢思想可知，对于一个不断发展的系统来讲，新数据对系统发展的影响要比老数据强。取=0.5没有充分的考虑新数据对系统发展的影响，预测精度较低[-]。针对上述预测模型的不足之处，本研究尝试建立基于该背景值优化后的灰色GM(1,1)预测模型，将其应用于对阜新市参考作物腾发量的预测，表现出良好的适用性。
　　2基于背景值优化的灰色GM(1,1)模型
　　基于背景值优化的灰色GM(1,1)模型是建立在灰色GM(1,1)模型基础上的一种改进的灰色预测模型。
　　2.1灰色GM(1,1)模型的基本思想
　　灰色GM(1,1)模型具体建模步骤如下:
　　（1）原有的非负数据序列：,作的一次累加生成序列，其中：
　　 （1）定义为的紧邻均值生成序列。其中
　　，取=0.5（2）
　　称 （3）
　　根据最小二乘法基本思想，本研究采用下面的公式（4）和公式（5）可以大大的提高运算效率[]。
　　（4）
　　（5）
　　（2）建立GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程，是一个微分方程，如下所示： （6）
　　（3）该白化方程的解,也称为时间响应函数为：
　　 ， （7）
　　则GM(1,1)模型的时间响应序列为：
　　  （8）
　　其中为一次累加值的预测模拟值，要得到原数据的预测值，需要将其还原。 （9） 
　　2.2基于背景值优化的灰色GM(1,1)预测模型
　　常规的灰色GM(1,1)模型在求解模型参数a和b时需做紧邻均值生成序列，该模型中令，其中取=0.5，这表明新旧数据对系统发展的作用是均等的。而由新陈代谢思想可知，对于一个不断发展的系统来讲，新数据对系统发展的影响要比老数据强。取=0.5没有充考虑新数据对系统发展的影响，导致模型的预测精度较低。本研究尝试对的生成过程进行优化，提高模型的预测精度。优化过程如下所示。
　　（1）按照上一节介绍的灰色GM(1,1)模型的建模过程，我们可以得到灰色模型的白化微分方程为式（9）。将式（9）在区间上积分可得：，其中（10）
　　由可得，
　　（11）
　　（2）设为在区间上的背景值，则有
　　（12）
　　（3）函数并不知道，但是我们知道一阶微分方程的解为指数方程，故可令：
　　（13）
　　假设该曲线通过两点、，则有
　　，（14）
　　由式（17）可解得
　　，（15）
　　由上可得背景值（16）
　　灰色模型中的参数和可由改进的背景值求得。
　　则称用改进背景值求解和所建立的灰色模型为基于背景值优化的灰色GM(1,1)模型。
　　
　　2.3模型精度检验 
　　本研究采用最常用的相对误差检验指标。
　　原始序列为，相应的预测模型的模拟序列为，则残差序列为其中，相对误差序列为，其中，为点的模拟相对误差，称为平均相对误差，称为平均相对精度。精度等级参照表如表1所示：
　　表1灰色模型预测精度检验等级参照表
　　Tab.1Thelevelreferencetableofgreymodelpredictionprecision-test
　　模型精度等级 相对误差
　　
　　
　　
　　一级（好） 0.01 
　　
　　
　　二级（合格） 0.05 
　　
　　
　　三级（勉强） 0.10 
　　
　　
　　四级（不合格） 0.20 
　　
　　
　　3灰色新陈代谢GM(1,1)预测模型的应用实例
　　本研究利用阜新市气象站1985~2006年的气象数据资料，采用Penman-Monteith公式计算该地区的参考作物腾发量（ET0）。阜新市1985~2006年ET0变化曲线如图1所示。
　　
　　图1阜新市ET0变化曲线图
　　Figure1ET0changecurveinfuxin
　　3.1建立常规GM(1,1)预测模型
　　1985~2002年的ET0数据用于建模；2003~2006年的ET0数据用来检验模型的精度。经计算，灰色GM(1,1)预测模型为：
　　（13）
　　用该模型分别预测2003~2006年的ET0，结果见表2。
　　表2常规GM(1,1)预测模型的预测精度检验表
　　Tab.2OrdinaryGM(1,1)predictiveaccuracytestingtable
　　年份 ET0实际值(mm•d-1) ET0预测值(mm•d-1) 残差 相对误差 预测精度
　　2003 2.6761 2.8045 -0.1286 4.8805 95.1994
　　2004 2.7608 2.8366 -0.0758 2.7460 97.2539
　　2005 2.4809 2.8692 -0.3882 15.6491 84.3509
　　2006 2.5109 2.9021 -0.3932 15.5804 84.4195
　　 平均相对误差   4.4401 
　　由表2可知，2003和2004年的预测精度均为二级，但2005年和2006年的预测精度均为四级。由此说明常规GM(1,1)预测模型预测精度高的仅仅是离现实时刻最近的几个数据，越往越来发展，预测精度就越低，模型的预测意义就越弱。
　　3.2建立基于背景值优化的灰色GM(1,1)预测模型
　　本文建立基于背景值优化的灰色GM(1,1)预测模型。经计算，灰色新陈代谢GM(1,1)预测模型一为：
　　（14）
　　用该模型分别预测2003~2006年的ET0，结果见表3。
　　表3基于背景值优化的灰色GM(1,1)预测模型的预测精度检验表
　　Tab.3TheinspectiontableofthefirstgraymetabolismGM(1,1)
　　predictingapredictionaccuracy
　　年份 ET0实际值(mm•d-1) ET0预测值(mm•d-1) 残差 相对误差 预测精度
　　2003 2.6761 2.8045 -0.1286 4.8805 95.1994
　　2004 2.7608 2.7958 -0.0349 1.2660 98.7339
　　2005 2.4809 2.8237 -0.3427 5.8154 94.1845
　　2006 2.5109 2.8519 -0.341 9.3168 90.6831
　　由表3可知，2003和2004年的预测精度仍为二级，但是都较常规的灰色GM(1,1)预测模型有所提高；2005和2006年的预测精度已经从四级提高到了三级，2005年的预测精度从84.35%提高到了94.18%，2006年的预测精度从84.41%提高到了90.68%，可见其提升的幅度很大。
　　4结论
　　（1）阜新市多年参考作物腾发量值呈指数增长规律不明显，这可能是导致灰色预测模型的精度相对较低的原因之一。
　　（2）由本例中阜新市参考作物腾发量的预测结果可以推测出：利用基于背景值优化后的灰色GM(1,1)预测模型的精度较常规GM(1,1)预测模型有很大的提高，因此，把该模型用于参考作物腾发量的预测是可行的、有效的。
　　（3）基于背景值优化的灰色GM(1,1)预测模型的实质还是常规GM(1,1)预测模型，该模型只是对其中参数的求解方法进行了改进。模型计算简单、易懂、适用性强，为参考作物腾发量的预测提供了一种新的方法。
　　参考文献

《基于背景值优化的灰色GM(1,1)模型在参考作物腾发量预测中的应用研究》

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