稳健估计与最小二乘估计在测量平差中的应用

　　摘要：本文介绍了最小二乘和稳健估计方法，编制最小二乘和稳健估计方法的程序并应用于水准网粗差探测和平差计算。计算结果表明稳健优于最小二乘估计方法。因此，在测量平差中应该用稳健估计方法进行平差计算，以便能得到更准确的结果。

　　关键词：稳健估计,最小二乘,测量平差

　　一、概述

　　最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。当观测样本服从正态分布时，参数的最小二乘估计具有一致性、无偏性、有效性。在泛函分析理论的支持下，最小二乘估计又呈现出明晰、直观的几何意义和简捷的计算程式。当观测值中仅包含偶然误差时，按最小二乘准则估计平差模型的参数，所估参数为最优线性无偏估计。最小二乘估计是假设观测值中只含有偶然误差，不含粗差，这时平差模型正确。但统计学家根据大量观测数据分析指出，在生产实践和科学实验所采集的数据中，粗差出现的概率约为1%—10%。随着测量数据的采集的现代化和自动化，在某种意义上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。

　　稳健估计,正是针对最小二乘法抗粗差的干扰这一缺陷提出的，其目的在于构造某种估计方法，使其对于粗差具有较强的抵抗能力。稳健估计在测量数据处理中的应用主要是进行粗差定位以及消除和减弱粗差对参数估计的影响。在假定模型基本正确的情况下, 稳健估计具备抗大量随机误差和少量粗差的能力, 使所估参数达到最优或接近最优。稳健估计不追求绝对意义上的最优, 而是在抗粗差前提下的最优或接近最优。

　　二、最小二乘估计原理

　　选取平差的数学模型，列出误差方程为

　　权阵为P (1)

　　式中，L为观测向量(在水准网中则为一组几个测段的高差观测值),V为观测值的改正数向量,为未知参数向量(大地水准网中为m个特定的高程)的估值，A为系数阵，P为观测向量的权阵,m

　　最小二乘估计要求 最小从而要求得未知参数估值及其协方差、方差

　　式中， 为 的协方差阵， 为方差因子估值。由上式可以看出，当观测值服从正态分布时，最小二乘估计可以很好的计算出未知参数的可靠估值。但当观测值中含有粗差，观测值的粗差对结果将会产生很大的影响。

　　三、稳健估计原理

　　稳健估计的方法有丹麦法、周江文法、Huber估计法及李德仁法等，下面以一次范数最小估计为例来说明这种解法。

　　设有误差方程 假定为等权观测，若不等权则可转化为等权观测。稳健估计要求 令

　　即 为A阵中第i行向量，设极值函数为 对其偏导并令其为零得

　　令权函数为

　　则(7)式变为

　　式(8)与间接平差中的方程 相似，故将W视为间接平差的权阵P，又因W是改正数V的函数，故称其为权函数，W必须通过迭代运算来确定。定权函数时，为了避免因v=0而出现的计算问题，可取

　　求解方法一般采用迭代式:

　　(1) 列出误差方程

　　(2)令，组成法方程。

　　(3)计算 和改正数v.

　　(4)计算权函数.

　　(5)再组成法方程.

　　(6)重新计算 和v，再定权函数W。

　　(7)重复第5和第6步，进行迭代计算。至，为迭代收敛精度。

　　四、计算实例

　　图一所示三等水准网中，有两个已知高程点A、B，3个待定高程点C、D、E和6个独立高差观测值。各测段路线长 分别为0.8—2.3公里不等。别按照条件平差计算得结果。

　　单位权中误差为 =±2.9(mm)。现在 的位置加4倍于中误差的粗差。分别对其进行最小二乘和稳健估计。结果如下表。

　　由表一和表二可知，含较大误差的观测值改正数特别突出，采用最小二乘估计方法时中误差较大，粗差影响很大，平差结果精度低。而采用稳健估计方法时，则能很好的找出并剔除粗差。在平差结果中消除了粗差的影响，与未附加粗差时的平差结果一致。

　　五、结论

　　本文论述了最小二乘和稳健估计方法，在观测值无粗差时，二者的平差结果相同。当观测参数中含有粗差时，稳健估计方法明显优于最小二乘估计方法，它不但能准确找出粗差的位置，而且能剔除粗差，使得平差结果受粗差的影响较小。

　　参考文献

　　[1] 杨元喜.抗差估计的概念及其任务[J].测绘通报,1994.

　　[2]葛永慧，夏春林，魏峰远，王列平.测量平差基础.煤炭工业出版社.2007.

　　[3]吴杰,余腾.稳健估计及其在秩亏网中的应用.南京工程学院学报[J].2010,8(2):63-67.

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