摘要：论文对高职数学中函数极限的求法作出了较为详细的归纳总结。分五类介绍了八种方法，并说明了个方法之间的区别与联系。
关键词：函数极限；恒等
中图分类号：o171 文献标识码：a 文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01
极限的思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，或者某个函数的极限可以用多种方法求出，那么就可以选择比较简单的方法求之。因此有必要对极限的求法加以归纳总结。
一、利用极限的四则运算法则和函数的连续性求极限
一般情况下，可以利用函数连续性求解极限的函数，就可以用极限的四则运算法则来求解，而通过以下对比，可发现，利用函数的连续性求解会方便很多。
（一）极限的四则运算法则
若 ，
则：
法则本身比较简单，要注意两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。因此大多数函数求极限往往不能直接利用法则，需要进行恒等变形，常用的方法有分子分母因式分解、分式的通分或约分、分子分母有理化、三角函数的恒等变形、或者先求其倒数的极限等等。
例1
解：
例2
解：原式
由例2可总结以下结论
（二）利用函数的连续性求极限
若函数 在 处连续，则 ，而初等函数在其定义区间内都是连续的，所以求初等函数在其定义区间内任意一点处的函数极限值，只需求函数在该点处的函数值，可以直接代入计算。如果是求定义区间以外点处的极限，则可以通过恒等变形将函数化为在该点处连续的函数，再代值计算。这里的恒等变形和四则运算里面的变形用方法是类似的，并且有时候使用函数的连续性求极限比利用函数的四则运算简洁许多。例如前面的例1可解为：
例3
解：因为 在其定义域以内，所以函数在 处连续
二、利用两个重要极限、无穷小量的性质和等价无穷小代换求极限
重要极限中的弧弦之比其实也说明了一个等价的问题，而利用等价无穷小量代换求解会方便很多。
（一）利用重要极限求函数的极限
两个重要极限的标准形式为： （弧弦之比）， 或 。一个是利用三角公式找到原函数和 的关系，另一则主要用在形如 的函数极限的求解（后面会提到形如 的函数极限的求解）。它们的扩展形式为： ， 或 （ ）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的恒等变形，将所求极限的函数变形为重要极限或者重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则或函数的连续性求解。
例4
解：原式
例5
解：原式
例6
解：原式
（二）利用无穷小的性质求函数的极限
无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：
（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；
（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量：
（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。
在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。
例7 求
解： 原式 。
（三）利用等价无穷小代换求函数的极限
等价无穷小量的定义为：若 是同一极限过程的无穷小量，即 ， ，且 ，则称 是等价无穷小量，记作 。等价无穷小量在求极限中的应用的相关定理为：设 使同一极限过程的无穷小量，且 存在，则有 。而重要极限中的 ，就说明了 ，除此以外，常用的等价无穷小量有： ， ， 。由此，例4和例5可另解为： 及 。
在使用时要注意的一点是：相乘（除）的无穷小量都可以用各自的等价无穷小量来代换，但是相加（减）的无穷小量的项是不但能作等价代换的。
三、利用夹逼准则求极限
函数极限的夹逼准则为：设有三个函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1） ；（2） ；则极限 存在，且等于 。
例8 求极限
解：
四、利用导数的定义求极限
若函数 在 处可导，则有 ，除此以外还有另外两种形式（1） ；（2）
利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或者可以化为导数的定义式，则可利用导数的定义来求极限。
例9 若 存在，求 。
解：
原式
五、利用罗比达法则求函数的极限
罗比达法则为：如果函数 和 满足（1） （取相同的极限过程且极限相等）；
（2） 都可导，且 ；
（3） ，
则 。
（一）“ ”型和“ ”型
罗比达法则主要用来求解“ ”型和“ ”型这两种未定式的极限。利用罗比达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。
例10 求
解：
注意：遇到 不存在也不是 时，并不能说明原式 不存在，此时应另找他法，如 ，属于“ ”型，使用罗比达法则以后变为求 ，显然不存在。可先变形，再利用前面提到的有界函数和无穷小量另解为
（二）“ ”型
对于函数 属于“ ”型未定式，可做适当变型化为“ ”型或“ ”型，即： 或 ，再使用罗比达法则。至于究竟化为哪一种应视情况而定，看哪一种化法更容易求解，简单来说，就是看变型以后的分子分母分别求导相对简单一些。
例11 求
分析： 显然变形为“ ”型再利用罗比达简单一些：即方便分子分母分别求导数。
解：原式
（三）“ 型”
一般情况下，为分式相减的，先通分；为根式相减的，先根式有理化：最终仍是化为 或 ，再使用罗比达法则求解。
例12 求
解：原式
（四） 型
这三种形式均为幂指函数求极限，即： ，因为 ，可先求出 ，而 ，从而化为求 函数的极限，接着用前面的介绍的方法求解。使用关键在于要注意变型的恒等，也就是很多人计算时往往把所求极限函数的对数的极限计算以后就结束了，实际上此时的极限和只是原式变型以后指数的极限。
例13 求
解：
例 14
解：
原式
“ ”在可化为“ ”时还可以直接利用重要极限中的 （ ）。
（五）罗比达法则与等价无穷小代换的综合使用
有时候罗比达法则和等价无穷小代换综合使用效果更好。
例14 求
分析：此题为两对数乘积，且为 型，若直接变型使用罗比达会有麻烦，此时可先利用无穷小量等价代换化为熟悉的问题。
解： 原式
例15 求
解：
原式
六、结论总之，以上各种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。
参考文献:
[1]龙辉.高职数学[m].电子科技大学出版社
《高职数学函数极限求法专业论文发表网》
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