职称论文发表Buck变换器的分数阶仿真模型与混沌分析

来源：职称驿站所属分类：电力论文
发布时间：2014-12-23浏览：15次

　　摘要：基于电感和电容本质上是分数阶的事实，基于分数阶微积分理论结合改进的Oustaloup分数阶微积分滤波器近似算法，在Matlab/Simulink下建立了电流连续模式下的电压控制型Buck变换器的分数阶数学仿真模型和对应的电路仿真模型，通过仿真验证了该模型的正确性。基于建立的分数阶数学仿真模型研究了很少有文献研究的以参考电压和比例放大系数作为混沌控制变量的 Buck变换器的混沌行为，得到了分别以参考电压、比例放大系数为变量的Buck变换器的V?I混沌相图。此模型可以对电压控制型Buck变换器的所有能导致混沌行为的7种情况进行仿真分析，利用此模型仿真分析了Buck变换器的阶数对系统动态响应过程的影响。该模型的建立方法也适用于其他DC/DC变换器的分数阶模型的建立。

　　关键词： 职称论文发表,分数阶,Buck变换器,建模,混沌行为

　　Fractional order simulation model and chaos analysis of Buck converter

　　SUN Hui?ming1， CHEN Wei1， SUN Long?jie1，2， HUANG Yun?long1

　　(1. College of Electrical & Control Engineering， Xi’an University of Science and Technology， Xi’an 710054， China;

　　2. High?Tech College， Xi’an University of Science and Technology， Xi’an 710100， China)

　　Abstract： According to the fact that inductance and capacitance is essentially fractional order， in combination with fractional calculus theory and improved Oustaloup fractional calculus filter approximation algorithm， the fractional?order mathematical simulation model and the corresponding circuit simulation model of Buck converter controlled by voltage and worked in continuous current mode were established in MATLAB/Simulink. the correctness of the models was verified by simulation. The chaotic behavior of Buck converter， which few people select reference voltage and scaling factor as chaos control variable， is studies on the basis of fractional mathematical simulation model. Two VI chaotic phase diagrams of Buck converter taking reference voltage and scaling factor as control variable were obtained. This model can analysis seven cases that all variables may lead to chaotic behavior of voltage?controlled Buck converter. Meanwhile the impact of the order of Buck converter on dynamic response is also analyzed in this paper. The establishment method of this model is applied to the fractional model establishment of other DC / DC converters.

　　Keywords： fractional order; Buck converter; model; chaos behavior

　　0 引言

　　已有的研究表明，实际电容和实际电感在本质上均是分数阶的。整数阶的电感和电容在实际中并不存在[1?3]，以往用来描述电感和电容电特性的整数阶模型是不够准确的甚至可能是错误的 [3]。Westerlund等人于1994年通过实验测定出在不同电介质情况下分数阶电容的阶数，Westerlund同时指出，电感实际上也是分数阶的;而Jesue等通过选择具有不同分形结构的电极表面面积、不同电解液制造出了具有0.59阶、0.42阶等不同的分数阶电容[1]。

　　开关变换器是典型的开关非线性系统，容易发生各种非线性现象，直接影响到变换器的稳定性以及可靠性。作为研究和设计开关变换器的关键环节，开关变换器的建模一直是研究的热点问题[4]，特别是由于开关功率变换器建模是实现开关变换器设计的基础，建模的准确性直接影响到控制器设计性能的高低，而采用整数阶模型只能粗略近似的描述实际电容和实际电感的电特性，用整数阶模型描述DC/DC变换器的动力学行为与变换器的分数阶本质相违背的，不能准确反映变换器的动力学特性甚至可能出现错误的结论 [3]。　　实际上，以往的硬件电路获得的实验结果本身就是由实际分数阶电感和电容得到的实验结果;而以往基于整数阶电感和电容仿真模型获得的结果与硬件电路获得的结果一致，说明了基于整数阶模型建立的仿真是可以用来近似分析实际的系统的。已有研究表明，实际的电容和电感是分数阶的，因此，建立分数阶仿真模型就显得必要。在已有的文献中，对于DC/DC变换器中的混沌现象的研究并不少见，主要有实验电路法和数值仿真法[4?7]，但是所有的仿真模型与理论研究方法都是基于电感和电容为整数阶出发建立的仿真模型。而且在对不同类型的变换器电路的混沌研究中，很多文献都是以电源电压和负载电容[5]、负载电阻[7]、电感[4]为混沌控制变量进行分析和研究的，但是Buck变换器电路中的其他参数也可能引发混沌。本文首先基于电容和电感本质上是分数阶的事实;结合分数阶微积分理论，建立了Buck变换器的分数阶数学模型;基于Matlab/Simulink建立了Buck变换器的分数阶数学仿真模型;通过对模型的仿真结果与以往的硬件电路实验和理论分析结果对比分析验证了模型的正确性。最后基于此模型，仿真分析了Buck变换器中以参考电压Vref和比例放大系数A为混沌控制变量的Buck变换器的混沌行为。

　　利用此模型分析了电容和电感的阶次对Buck变换器的动态响应的影响，得出了与文献[3]相同的结果，即电容和电感的分数阶阶数取值越大，从暂态过渡到稳态的时间越长。建立Buck变换器的分数阶模型的方也适用于其他DC/DC变换器的建模仿真，此分数阶模型有利于促进分数阶微积分理论的应用推广。

　　1 Buck变换器的分数阶建模

　　由文献[7]可知，分数阶电感和电容的数学模型为：

　　[vL=LdαiLdta;iC=CdβvCdtβ]

　　根据Grunwald?Letnikov分数阶导数定义式下的分数阶导数的拉普拉斯变换[8]，即：

　　[L[0Dqtx(t)]=0∞e-st0Dqtx(t)dt=sqX(s) n-1

　　(1) 当VT导通、VD关断时，图2(a)的状态方程为：

　　[LdαiLdta+vC-vin=0iL-vCR-CdβvCdtβ=0]

　　对状态方程进行拉普拉斯变换并整理得：

　　[Is=-1L1sαVCs-VinsVCs=IsC1sβ-VCsRC1sβ]

　　(2) 当VT关断、VD导通时，图2(b)电路的状态方程为：

　　[LdαiLdta+vc=0iL-vcR-Cdβvcdtβ=0]

　　对状态方程进行拉普拉斯变换并整理得：

　　[Is=-1L1sαVCsVCs=IsC1sβ-VCsRC1sβ]

　　2 Matlab/simulink下分数阶仿真模型的建立

　　比较Buck变换器的两个工作状态时的状态方程可知，VC(s)是相同的，而I(s)的表达式是不同的。VT导通时I(s)的表达式中多了一部分 Vin(s)，这部分与电路的输入有关，即当VT导通时要接入这部分，而当VT关断时则不需要接入这部分。接入和不接入的信号输入依赖于Simulink 模块库中的Switch开关，该开关有一个输入控制信号输入端，在控制信号大于零时接入一路输入信号，而在控制信号小于零时则接入另一路输入信号[5]。基于Matlab、simulink软件以及薛定宇等人在Oustaloup滤波器分数阶微积分算法基础上提出的改进算法[9]。根据文献[9]所提出的改进的Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法，构建Fractional Int s^{?a}的Matlab/simulink模块。

　　基于以上的分析，在Matlab/simulink下搭建的分数阶Buck变换器Simulink数学仿真模型如图3所示;Buck变换器Simulink电路仿真模型如图4所示。对于图3模型中的三个Fractional Int s^{?a}子模块，用积分模块代替之后就获得了整数阶Buck变换器的数学仿真模型。

　　针对图4的电路仿真模型，可以结合文献[3]中采用的基于分抗链得到分数阶电感和分数阶电容的等效电路模型，基于文献[9]中的改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法获得的等效[1sq]的传递函数模型的整数阶阶次非常高，使得系统用硬件实现起来困难，同时如果直接利用此算法获得的传递函数形式来计算分抗链中的电阻、电容、电感等原件的值，则计算量很大，容易出错。因此，利用文献[9]提出的模型降阶方法，对高阶模型进行降阶之后结合文献[3]提到的分抗链等效来模拟分数阶电容和分数阶电感，利用获得的等效分数阶电容和分数阶电感来代替图4中的电容和电感元件，就可以获得分数阶Buck变换器的电路仿真模型。必须明确的是以往硬件电路获得的实验数据是基于实际的分数阶系统得到的数据。以往的整数阶仿真阶模型的仿真结果与实际硬件电路获得的实验数据的一致性只能说明整数阶模型可以用来近似描述分数阶系统的动力学行为。

　　薛定宇等人提出的改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法有三个关键参数：拟合频率下限ωb、拟合频率上限ωh、滤波器的阶数2N+1。在对实际分数阶系统进行数值仿真时，需要选择合适的拟合频段(ωb，ωh)和N值，一般选择ωb ωh=1。对于模块Fractional Int s^{?a}子模块，同样可以根据已有文献[10]的结论，利用分数阶微积分的波特图频域近似算法所得到的[1sq]的频域近似式来代替，文献中给出了q 从0.1～0.9的近似表达式(最大误差2 dB和3 dB)[10]。同样可以利用改进Oustaloup滤波器的分数阶微积分算法得到的传递函数通过降阶以后获得低阶次的传递函数来替换 Fractional Int s^{?a}模块，可以获得相同的仿真结果。因此模型的使用很灵活和简便，可以满足不同的需求。而文献[9]建立的仿真模型则不能用于分数阶模型的仿真。　　3 模型的正确性验证

　　电路参数为[5?6，11]：L=20 mH(电感)，R=22 Ω(电阻)，A=8.4(误差放大器的放大倍数)，Vref=11.5 V(参考电压)，VL=3.8 V(斜坡电压的下限)，Vh=8.3 V(斜坡电压的上限)，T=400 μs(开关周期)，K=1(取样系数)，稳定的占空比为0.6左右，输出电压基本在12 V波动。当电路中某一参数改变时，其他参数保持不变。由于篇幅原因，本文仅给出部分0.9阶分数阶和0.8阶分数阶模型在不同参数变化下的分数阶Simulink数学仿真模型的仿真相图。在实际的研究过程中，Buck变换器中 6种混沌控制变量的每一个变量作为混沌控制变量时，都仿真了分数阶0.9阶和0.8阶以及整数阶Simulink数学模型和Simulink电路模型，获得的相图形状都是相同的。同时对第2节提到的若干方法也进行了仿真，观察到的相图与以往的实验结果和分岔图所呈现的动态特性是一致的。其中相图是以电压作为横坐标，单位为V;以电流作为纵坐标，单位为A;由于开关周期T=400 μs，则选择ωh>104，ωb<10-4，ωh=106，ωb=10-6。相图的详细分析见文献[12]。

　　3.1 电压变化时的仿真结果

　　图5为输入电压变化时0.9阶分数阶相图，从图中可以看出，随着输入电压电压的增大，电路不再稳定;分数阶仿真模型获得的仿真结果与文献[5?6，13]结果完全相符。说明此分数阶模型对于Buck变换器以输入电压Vin为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

　　3.2 电容变化时的仿真结果

　　图6为输出电容变化时0.8阶分数阶相图(Vin=20 V，R=22 Ω，L=20 mH)，从图中可以看出，随着输出电容的减小，电路不再稳定;较小的负载电容使系统可能呈现混沌运动，因为负载电容C的电压是通过对电感中的电流iL积分得到的，是一种惯性环节，大的电容其电惯性自然增大，则其电压的随机波动性减少，故不易出现混沌运动[14]。仿真模型获得的仿真结果与文献[5?6，13]完全相符。说明此分数阶模型对于Buck变换器以输出电容C为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

　　3.3 负载电阻变化时的仿真结果

　　图7为负载电阻变化时的0.9阶分数阶相图(Vin=34 V，C=47 μF，L=20 mH)，当R=3 Ω时，负载电压处于单周期稳定状态，此时相图是一个单周期极限环。当R=5 Ω时，负载电压处于2分裂状态，相图是一个2周期的极限环。当R=10 Ω时，负载电压处于4分裂状态，相图是一个4周期的极限环。当R=15 Ω时，处于混沌状态，相图由永不重复的极限环簇组成。仿真得到的结果与文献[17]硬件电路得到的实验结果相符，同时文献[17]中的分岔图所呈现的动态特性与此仿真结果一致。说明此分数阶模型对于Buck变换器以负载电阻R为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

　　3.4 电感变化时的仿真结果

　　图8是以电感做为混沌控制变量，以0.8阶分数阶模型获得的U?I相图(Vin=20 V，C=47 μF，L=20 mH)。结果与文献[4]中的仿真结果、分岔图以及硬件电路得到的结果相符。此处给出的相图是Vin=20 V时的结果，而文献[4]中给出的是Vin=34 V时的结果，在实验过程中，Vin=34 V时的仿真结果与文献[4]完全相同。给出Vin=20 V时的结果相图与文献[身]形状相同，但是相同形状的相图对应的电感L的值不同，说明了Buck变换器的混沌行为是以上所有参数共同决定的，同时证明了模型的正确性。硬件电路实现见文献[4，7]。结果说明此分数阶模型对于Buck变换器以电感L为变量的混动行为的仿真分析是正确的。

　　3.5 以开关周期T为变量时的混沌仿真结果

　　图9是0.9阶分数阶模型获得的仿真结果。其中(a)～(c)与文献[15]分岔图反映的结论一致，而文献[15]电路中的参数Vin=34 V时的混沌相图与图5(d)相图一致。同时由图9(d)可知，在前面图5中可以看出输入电压Vin=34 V时、T=400 μs时处于混沌状态，而当开关周期T=200 μs时处于周期一稳定状态;即较大的开关周期T容易导致混沌行为的发生。同时比较可以看出，相图的面积有明显的减小，即输出纹波随开关周期减小而减小。此结论与文献[3]的硬件电路结果一致。

　　4 以Vref，A为变量的混沌仿真及α，β对系统的

　　动态响应的影响分析

　　由第3节的仿真分析可知，分别以输入电压Vin、输出电容C、负载电阻R、电感L以及开关周期T这五个参数为混沌控制变量仿真了整数阶、0.9阶分数阶、0.8阶分数阶模型，得到的仿真结果与以往的理论分析、仿真和硬件电路获得的结果相同，所建立的分数阶模型可以准确的仿真Buck变换器的混沌行为。

　　现有的大量的文献都是针对电容和电感为整数阶建立的模型进行的理论分析和仿真验证，而用硬件电路获得的结果，由于电容和电感本质是分数阶的事实[1?3]，也就是说，硬件电路得到的结果本身就是分数阶结果，只是不能明确的知道具体的电容和电感的分数阶阶数。第3节通过分数阶模型得到的仿真结果与以往的硬件电路获得的结果是一致的，至少说明了在这里建立的分数阶模型能和以往的基于电容和电感为整数阶建立的理论分析和模型获得的结果等同。

　　目前对于Buck变换器的混沌分析，都是以输入电压Vin或负载电容C[5?6，13]、负载电阻R[7]、电感L[4]为混沌控制变量进行分析和研究的，而比例放大系数A和参考电压Vref也可以作为混沌控制变量。第3节的仿真已经验证了建立的分数阶模型的正确性，因此，对以A、Vref为变量的混沌仿真分析采用分数阶模型与整数阶模型同时进行仿真分析，由于篇幅所限，此处仅给出分数阶模型获得的部分仿真结果。电路参数为Vin=20 V，C=47 μF，L=20 mH，R=22 Ω;除混沌变量可变以外，其他参数选择前文中的典型参数。　　4.1 参考电压Vref变化时的混沌仿真结果

　　图10为0.9阶分数阶数学仿真模型获得的仿真结果。由相图可以看出，较小的参考电压可能导致Buck系统进入混沌，参考电压的减小意味着输出的减小，对于一个确定的输入电压，参考电压的减小则反过来可以认为是小的参考电压下外加了大的输入电压Vin，由前面的分析知道，较大的输入电压Vin能使系统进入混沌。因此，对于以参考电压Vref作为混沌控制变量的输出相图可以与以输入电压Vin做为混沌控制变量的输出相图对比分析。实际仿真过程中同时仿真了整数阶数学仿真模型和电路模型以及0.8阶分数阶数学仿真模型，获得了与0.9阶模型相同的相图。

　　4.2 比例放大倍数A变化时的混沌仿真结果

　　图11为0.8阶分数阶数学仿真模型得到的仿真结果。A=9时，相图处于单周期稳定状态，此时的相图是一个单周期极限环。A=10.8时，相图处于二分岔状态，相图为2周期的极限环。当 A=13.4时，相图为4周期的极限环。当A=14.3时，相图处于混沌状态，相图由永不重复的极限环簇组成。由相图可以看出，较大的比例放大系数A可能导致Buck系统进入混沌状态。实际仿真过程中同时仿真了整数阶数学仿真模型和电路仿真模型以及0.9阶分数阶数学模型，获得了与0.8阶模型相同的结果。

　　4.3 阶数对系统动态过程的影响仿真分析

　　在仿真过程中，取了α=β=0.8、α=β=0.9和α=β=1三个不同的阶数，在同一个窗口中长时间多次观察了每次输入电压Vin变化而其他参数相同(除阶数不同)时的输出相图演化过程和时间，发现随着阶数的变小，系统动态过程时间减小;即阶数减小系统能在更短的时间从暂态运动到周期稳定状态;同样在系统参数已决定了其工作在混沌状态的情况下，通过长时间的观察，系统阶数小时状态变量相轨迹也能在更短的时间里运动到混沌吸引子附近。仿真结果与文献[3]中得到的在其他参数不变的情况下，其动态响应过程随着电感L的分数阶阶数a和电容C的分数阶阶数b的增大而增大，即其阶跃响应的上升时间、延迟时间、调节时间、峰值时间、超调量都将增大[7]的结果吻合。

　　5 结论

　　基于Matlab/Simulink仿真软件，建立了Buck变换器的整数阶和分数阶数学仿真模型以及Simulink电路仿真模型，通过对模型得到的仿真结果与以往的理论分析、仿真以及硬件电路获得的结果[4?7，11?14]对比分析验证了模型的正确性。在此基础上，通过这些模型研究了现有文献较少涉及到的以参考电压Vref、比例放大倍数A为混沌控制变量的Buck变换器的混沌行为，给出了部分分数阶模型的仿真相图;通过仿真分析和观察仿真过程与结果发现：

　　(1) 研究结果表明，正确选择电路参数对Buck变换器的稳定运行具有重要意义。较大的输入电压Vin、较大的负载电阻R、较大的比例放大系数A、较大的开关周期T、较小的负载电容C、较小的电感L、较小的参考电压Vref都可能导致系统出现混沌运动;选择合适的输入电压Vin、输出电容C、电感L、负载电阻R、参考电压Vref、比例放大系数A、开关周期T的值可以有效的避免Buck变换器进入混沌状态。

　　(2) 本文研究了Buck变换器中的7个变量引起的混沌行为，定性的给出了各个参数引起混沌的变化方向，对变换器的设计、优化以及故障分析提供了有用的参考，文中研究的内容可以帮助设计者在选择设计参数时可以依据此内容来选择合适区间的参数以避免变换器工作在混沌状态。

　　(3) α和β的取值越大，从暂态过渡到稳态的时间越长。综上所述，由于实际的电感和实际电容在本质上是分数阶的事实，建立的Buck变换器的分数阶数学仿真模型可以准确的对Buck变换器的混沌学行为进行仿真分析。同时建立此模型的方法可以用来建立其他DC/DC变换器的分数阶模型。下一步准备在此分数阶数学模型的基础上，从硬件电路角度对文中结论(2)加以验证;同时基于此模型对以往的混沌控制方法加以研究和分析。由于电感和电容本身是分数阶的事实，则对于分数阶模型和整数阶模型这两种模型都可以正确分析系统动力学行为这一事实，需要分析那个模型能更精确的反映实际系统的动力学行为。而目前市面上的电容和电感的实际分数阶阶数并不知道，如何准确获得电容和电感的分数阶阶数也是研究的一个新问题。

　　参考文献

　　[1] 王发强，马西奎.电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析[J].物理学报，2011，60(7)：5?10.

　　[2] 王发强，马西奎.基于分数阶微积分的电感电流断续模式下Boost变换器的建模与分析[J].中国科学，2013，43(4)：368?374.

　　[3] 谭程，梁志珊.电感电流伪连续模式下Boost变换器的分数阶建模与分析[J].物理学报，2014，63(7)：5?6.

　　[4] 李磊，金爱娟，夏震，等.PWM Buck变换器电感引起的混沌及其控制[J].微特电机，2013，41(10)：58?60.

　　[5] 王春芳，王开艳，李强.Buck变换器仿真模型及分岔与混沌研究[J].系统仿真学报.2007，19(24)：5824?5831.

　　[6] 王开艳，王春芳，张玲丽.CCM和DCM模式Buck变换器建模与混沌现象仿真[J].系统仿真学报2008，20(14)：3881?3887.

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