教师论文发表高中数学人教A版“函数的概念”教材方法建设

　　很多人有过在驾校学开车的经历，驾校的教练大都身怀绝技，但是他们只是把最基本的驾驶常识、驾驶技术教给学员.大多数驾校都有自己的教学大纲，每个教练都必须按照大纲去教学员，不能教给学员大纲之外的东西.学员拿到驾驶证之后，有的成为普通的家庭司机;有的成为专职司机，甚至赛车手.当然，如果要成为赛车手，还需要进一步学习.也就是说不管你以后有什么样的驾驶本领，在驾校学的技术是一生的驾驶基础.

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　　其实，我们的数学教学也应该这样：满足未来公民的基本数学要求，为学生进一步学习提供必要的数学准备.而要做到这一点，就必须认真研读教材，领会教材的实质.

　　众所周知，我们的教材只能让学生学习基础而且重要的内容，只能是精益求精，精中求简，达到以简驭繁的效果.但是，由于教师所处地域、年代或个人对教材理解的不同，或者由于学生的变化，使得各地对教材的使用方法也不一样(大多数人认为是由于高考，笔者认为这种观点有些偏颇).所以，不断地深入研读教材，不断地对教材进行再开发应该是每一位教师的必修课.

　　下面笔者以人教A版教材《数学1》(必修)中“1.2函数概念”为例，谈谈对教材进行研读的一些个人看法和做法，希望同行予以斧正.

　　一、概念的引入

　　学生获取概念的方式有两种，一种是概念的形成;另一种是概念的同化.概念的形成是指人们对同类事物中若干个不同例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳方式概括出这类事物的本质属性，从而获得概念的方式.

　　而函数概念的引入一般也有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数;另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数.到底哪种方法更符合高一学生的认知水平呢?

　　教材第一句话就说“在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系”，显然，教材采用了后一种方式.这也是课标的要求.

　　课程标准中提到“通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”.但是，实际教学中所举例子不能是随意的，应该符合以下三方面要求：第一，数学教学心理学对概念的形成，要求所举的正例要有利于学生观察、分析、比较、归纳、概括出这些例子的本质属性，对所举例子要有分析;第二，从函数的表示方法上来分析，两个变量之间的对应关系可用解析式、列表法、图象法三种方法表示;第三，从学生的气质类型来看，有的学生擅长代数，有的学生擅长几何，所举例子应该超越解析式这个非本质属性，从而有利于充分感知素材，正确形成函数概念的表征.(参见文献[1])

　　教材分别从运动、自然界、经济生活中用三种不同的方法表示函数，目的是既可以让学生感受函数在许多领域的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅仅可以用明确的解析式，也可以用曲线或表格，并且对所举例子有分析.但是，教材中这些例子有三个缺点：第一，与学生的实际生活距离太远，不利于学生进行分析、归纳;第二，所举例子都是正例，学生不能意识到引入新概念的必要性，也不能意识到原概念的局限性;第三，教材后面提到“值域是集合B的子集”，可是在几个实例中没有体现，甚至在以后的学习中体现也不多，这可能使学生对于值域是集合B的子集的出现感到茫然.所以，实际教学中不如让学生自己举例，然后在教师引导下进行分析、归纳.教师还可根据学生所举实例，进行适当补充说明.特别是反例，能有效促进学生深层次思考.

　　再者，高一学生抽象概括能力差，经验与智力对学生的影响，经验更重要，丰富的经验是理解概念本质的前提，否则容易死记硬背字面定义，而不能理解内涵.所以，教材分两步走：第一步，在初中函数基础上，通过丰富实例，体会函数是如何描述变量之间依赖关系的;第二步，在此基础上归纳出用集合与对应的语言来刻画函数.以上两步始终围绕突出对应关系在刻画函数概念中的作用.

　　实际教学中引导学生也要按照教材的思路进行，并不断进行去粗取精、去伪存真、由表及里的分析归纳，为后面的概括总结、得出概念做好铺垫.

　　比如，车辆行驶的时间与路程的关系——解析式;购物的数量与费用的支出——解析式;股票某时的曲线图——图象;火车票价与路程的关系——表格等.让学生使用初中的定义去解释，谁是自变量，谁是函数值，对应关系是什么，是怎么对应的，等等.

　　但是，正例只能说明充分性，反例则说明必要性.反例，如：公交车以前有售票员，票价按里程计算，显然是函数问题;现在是无人售票，不论距离远近上车都是1元，这种对应是不是函数问题?若是，为什么是函数?对应关系是什么?

　　继续以上问题，下面表格表示某生考试成绩与次数的关系，第3次没有考，这是不是函数?是函数，对应关系是什么?不是函数，为什么不是?假如第三次考试又考了80分，算不算函数?

　　这样的问题能促进学生有效思考，增加对函数本质的认识.本例还有一个重要用途，为教材中提到的“值域是集合B的子集”铺垫.

　　二、概念的数学化

　　数学教育家弗赖登塔尔说“与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习‘数学化’”.

　　实例过后，教材有一个思考：“分析、归纳以上实例，变量之间有什么共同特点?”这其实是在引导师生对概念进行“数学化”.

　　函数概念如何实现“数学化”?两点：首先，要找共性，也就是抽象出这些事例的共同特征，也是本质特征;其次，使用数学符号表示上面的共性.通过前面对实例的分析，可以概括总结出函数就是两个变量之间按照某种法则的对应，与事物的背景变化无关.用初中定义的说法就是：“在某变化过程中，有两个变量x、y，对于每一个在一定范围内的变量x值，按照一定的对应法则，都有唯一的y与之对应，那么就说y是自变量x的函数.”

　　用什么符号来表示函数呢?这是一个难点.解析式有很大局限性，不能把所有函数的共性表示出来.联想到教材前面已经给了工具——集合，引导学生尝试使用集合分析初中函数概念：“在一定范围内”，就是一个数集内;所谓的“变化”，就是可以取不同的值.我们把变量x的取值放在一个集合A中，把变量y的取值放在集合B中，在集合A中任意取值，通过某种法则——用f表示，在集合B中就能找到一个相应的y，这样建立起来的对应关系就是函数关系，用符号表示函数就是f：A→B.

　　函数定义的要素：定义域A，对应法则f，而值域就是由定义域与对应法则所确定的.值域是不是B呢?如果B中元素都是函数值，值域就是B;如果B中除了函数值之外，还有其他的数，值域就是集合B的子集.显然，对应法则相同，而定义域不一样的两个函数是不同的函数，对应法则不一样的函数肯定不是同一函数.自变量与对应函数选用怎样的字母表示，并不影响函数的本质.可以结合一次函数、二次函数、反比例函数等说明.

　　借助集合，运用集合语言进行描述，实现了函数概念的数学化.但是，这里的对应法则f说得含糊、抽象，意义不明确，除了要结合前面的实例进行说明外，教师还应明确：

　　教材将函数记做y=f(x)，x∈A容易引起混淆，学生以为是f与(x)相乘.所以，需要解释清楚究竟函数是f，还是f(x)，还是y=f(x).事实上，f是函数，而f(x)是函数f在x处的值，是一个数或一个元素，而y=f(x)是借以确定f的方程，是一个式子.因此，严格地说：y=f(x)不应该读作“y为x的函数”，而应读作“自变量x实施法则f后的结果”.应当看到，许多学生甚至教师把对数函数说成“G312YB141.jpg”，认为“log”是没有意义的符号，这其实是错误的.不过搞清了f、f(x)、y=f(x)的区别后，在应用上为方便起见也允许有意识的混同使用，但这与概念不清是两回事.(参考文献[2])

　　三、两个概念之间的关系

　　高中引进新的函数概念是不是意味着初中的函数概念落后，高中的概念先进呢?虽然前面已经认识到两个概念的本质是一样的，但是，学生肯定还会产生这样的疑问，甚至人们一直认为高中概念先进，初中概念落后.再者，在后面学习中几乎使用的也都是初中的概念，所以，有必要进一步明确解释两个概念，提升认识.这也是教材的一个目的.

　　其实，数学概念没有先进与落后之说，也不能按出现的先后来评判，只有角度不同.

　　初中函数刻画的是两个变量之间的依赖关系，重点解决两个变量之间的依存关系，是动态的.由于日常生活或生产实践中，各种变量之间多半大致已经“天然地”建立了对应关系，所以人们易于接受，而且不会误会，是一种宏观的描述.如果将初中定义中自变量的取值集合与函数值所在的集合抽象出来，那么初中的定义就上升到了高中的定义.

　　高中的定义则运用集合与对应的观点来认识函数，更强调两个集合之间的对应关系，实际是一种微观考查，是对初中定义进行了抽象化、精细化的处理.

　　但是，在科学研究或生产生活中，只有宏观表述是不够的，更要突出本质.而高中定义用集合的对应直接表明了函数是数与数的直接对应、是面对面的沟通，显得精细、微观和静态.张奠宙先生的这段描述，阐述了两个概念的关系——

　　“动态的描述体现一种文化内涵，粗略、生动、原始的思想，构成宏观的概念.静态的表述，则进行形式化和精确化.所以，初高中的函数定义各有其内涵，二者互为表里、相得益彰，却并无高下之分”(参见文献[3])

　　四、例题、习题的教学分析

　　求函数定义域是一种常见题型，但不是函数的本质，应该理解为确定一个函数必须明确其定义域.因为，从确定一个函数的角度考虑，函数定义域在给出函数的同时就应该给出，这是给出函数时的一项任务，是一种自然行为.

　　教材例1的教学任务在参考书中给出以下三点明确具体的要求：(1)会求简单函数的定义域;(2)对于用解析式表示的函数，会由给定的自变量与函数的解析式计算函数值;(3)进一步体会函数记号的含义.

　　除此之外，笔者认为结合本题还应该指出，由f(x)中自变量取值集合中不仅仅是数，还可以是字母、代数式或函数，是对函数概念的补充.比如，学生会问，函数不是数集的对应吗，自变量怎么能取a-1呢?其实，非空数集不是函数概念必不可少的属性，教材为了降低抽象程度，仅限于集合A、B是非空数集.数学家允许自变量取函数，泛函数的定义域就是函数集，值域是实数集或其子集的函数.后面学习还要介绍复合函数，所以是教材有意为之.

　　笔者对教材也有很大疑惑，现在的课程标准对学生学什么、学多少比较清楚，但是对于学到什么程度没说清楚，所以教师实际教学就是以高考为最终目标，于是把高考当做指挥棒来设计教学.继而还会产生以下困惑：教师的教学是为升学做准备还是为就业做准备?这些都要根据学生实际来定位.

　　不管怎么说，笔者还是赞同老司机的观点.我刚拿到驾照后时间不长买了一辆新车，开了不足100公里，就去问有近30年驾龄的老司机，节油要领是什么?老司机说：“如果我先教你一些驾驶技巧，你就不会开车了.”想想真有道理.

《教师论文发表高中数学人教A版“函数的概念”教材方法建设》

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