浅谈分部积分法的使用技巧

摘要：在高等数学学习中，大多数学生对于分部积分法感到困难，其关键在于不能正确地选取分部积分法公式中的和。本文作者结合自己的教学实践，归纳总结出一种利用分部积分法求积分的技巧，即：“口诀法”。
关键词：高等数学；分部积分法；口诀

引言
高等数学是我院工科各专业开设的一门重要必修基础课程。微分与积分是高等数学教学的重点，而积分运算比微分运算难得多，这主要是因为积分运算没有一种统一的方法。直接积分法是求积分的基本方法，换元积分法是求积分的重要方法，分部积分法则是求积分的有效方法，是教学中的一个重点，也是一个难点。在教学过程中如何突破这个难点呢？笔者结合自己的教学实践，归纳总结出一种利用分部积分法求积分的技巧，称之谓：“口诀法”。现介绍如下：

分部积分公式
定理：若和可导，且不定积分存在，则也存在，并有：

也可以写成：=.
应用此公式应注意：
（1）要用凑微分容易求得,
（2）比容易积出。
2 分部积分公式的解题步骤
当被积表达式为两个不同类型函数相乘时，可以按下面步骤使用分部积分公式：
确定；
把被积表达式余下的部分与一起凑成
3 分部积分公式的使用关键——恰当合理选择的顺序
选择的经验顺序为：“反、对、幂、三、指”，即依次表示：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数。
注意:常数也视为幂函数。
口诀为：“反、对、幂、三、指，谁前谁为”

实例分析
求
分析：被积函数为“幂函数和三角函数”，选幂函数。
解：设，
则 ，

求
分析：被积函数为“幂函数和指数函数”，选幂函数。
解：设，
则 ，

求
分析：被积函数为“幂函数和对数函数”，选对数函数。
解：设，
则 ，

求
分析：被积函数为“幂函数和反三角函数”，选反三角函数。
解：设，
则 ，

分部积分法的应用
利用分部积分公式建立递推关系
有许多重要的递推公式, 是靠分部积分法来建立的, 它们大多是非标准类型, 需要灵活运用分部积分法, 下面给出一例：
求
解：这是有理函数积分中的一种基本形式，现导出其递推公式，
记 ，则=
=
对其最后一项用分部积分法，令，则：

所以：
=
代入原式并整理得：
特别地，
总结
有些函数的不定积分需多次使用分部积分法来进行求解，我们只要根据“反、对、幂、三、指，谁前谁为”来选定和，从而使运算过程简单直观，且计算不容易出错，不失为一种好方法，总之，只要记住分部积分公式，记住口诀，就能准确迅速地利用分部积分法求出积分来。

参考文献：
[1]同济大学数学教研室. 高等数学(第五版,上册)[M] . 北京:高等教育出版社,2002.
[2]欧阳光中,朱学炎,金福临, 陈传璋. (第三版,上册) 数学分析[M] . 北京:高等教育出版社,2007.
[3]华东师范大学数学系. (第三版,上册) 数学分析[M] . 北京:高等教育出版社,2001.

《浅谈分部积分法的使用技巧》

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