GPS高程拟合中多面函数及二次曲面函数的比较与分析

　　摘要：结合某区域的GPS和水准测量数据，用多面函数法、二次曲面函数法分别进行高程拟合，结果表明，在高程异常变化较大的区域用多面函数拟合GPS高程异常时，精度较高。
　　关键词：GPS测量；水准测量；高程拟合；多面函数；二次曲面函数
　　
　　0 引言
　　随着卫星定位技术的发展，GPS以其独特的优势在测量领域扮演着越来越重的角色。众所周知使用GPS测量得出的点，其平面精度相当高，但是高程精度不是很高。对于工程建设而言，保证高程控制基准的准确是必须的。那么有没有一种处理方法使得用GPS测量得出来的高程达到我们的要求呢？下面我们将结合一些实例来探究这个问题。
　　我们知道GPS测量实在WGS-84地心坐标系中进行的，所提供的高程为相对于WGS-84椭球的大地高。而我们要得到是海拔高。在某一区域内，如果有一定数量的已知水准点（正常高已知），则可以在这些水准点上进行GPS观测，各点的高程异常值就可根据计算得出。根据已知点的高程异常值及其位置关系建立函数模型来模拟该区域似大地水准面的高度，再用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值，进而求得该点的正常高。本研究应用多面函数方法对某控制网GPS点的高程异常进行拟合，并与水准高程进行了对比分析。
　　1. 原理
　　多面函数法是从几何观点出发，解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。其理论根据是认为“任何一个圆滑的数学表面总可以用一系列规则的数学表面总和以任意的精度逼近”。二次曲面拟合法是认为高程异常在一定范围内变化平缓的前提下，将高程异常近似地看作是一定范围内各点坐标的曲面函数，用这一拟合函数来计算其它GPS点的高程异常和正常高。
　　对于每一个已知点都可以列出方程，从而求出检核点的正常高。实际运用中，如果把测区的似大地水准面假定为平面，则为平面拟合模型，要求测区面积很小且地形十分平坦，计算出来的高程异常与检核点的正常高，精度一般不高。如果把测区的似大地水准面看成一个二次曲面，则相对符合对似大地水准面的描述。
　　对于测区面积不是很大，特别是测区内高程异常的变化有规律且地形变化平缓的地区，在已知点分布均匀的情况下，二次曲面拟合法能够达到比较理想的精度。
　　2. 实例分析
　　为了比较多面函数拟合和二次曲面拟合，以及他们各自的效果和精度，以下面的控制网为例进行分析。某平面高程控制网，测有18个GPS控制点，其水准高程已知，可以获得高程异常值。选用其中的8个点作为已知数据，用来拟合其他10个点，拟合得出的水准高程与其已知的水准高程进行比较，确定拟合的精度，比较多面函数和二次曲面函数在这一区域的拟合效果。
　　将A01、A05、A06、A07、A08、A15、A18、A20作为拟合函数的中心点，即已知点，数据见表1，待拟合的10个点的数据见表2。
　　表18个GPS点已知数据m
　　点号 X Y 大地高 正常高 高程异常
　　A01 3521183.6484 500891.8669 19.655 9.8863 9.7687
　　A05 3521322.0221 502115.5435 18.511 8.6972 9.8138
　　A06 3514949.2321 501602.0906 18.927 9.0875 9.8395
　　A07 3521163.9205 498930.0555 18.647 8.9463 9.7007
　　A08 3515215.5761 498496.1918 18.700 8.9569 9.7431
　　A15 3522555.8199 502019.6094 16.494 6.6907 9.8033
　　A18 3514332.5668 499328.6312 15.755 5.9957 9.7593
　　A20 3513632.6633 501089.3235 16.394 6.5587 9.8353
　　表2待拟合GPS点数据m
　　点号 X Y 大地高 正高 高程异常
　　A02 3515101.7750 500405.4400 18.766 8.9670 9.7990
　　A03 3521105.6524 521105.6524 19.496 9.7751 9.7209
　　A04 3515266.4573 499288.1836 18.801 9.0472 9.7538
　　A09 3521729.1624 503176.9303 18.921 9.0618 9.8592
　　A10 3514672.9886 502272.9326 18.426 8.5527 9.8733
　　A11 3522171.4953 500970.8756 16.578 6.8147 9.7633
　　A12 3513964.6180 500250.4336 17.272 7.4893 9.7827
　　A13 3521987.6092 499737.3555 16.331 6.6292 9.7018
　　A14 3514045.6710 499746.5023 15.201 5.4211 9.7799
　　A16 3513756.9532 500651.7743 17.042 7.2243 9.8177
　　应用多面函数拟合和二次曲面函数拟合的比较情况见表3。
　　表3多面函数拟合和二次曲面函数拟合比较m
　　点号 大地高 正常高 多面函数拟合 拟合差值/cm 二次曲面拟合 拟合差值/cm
　　A02 18.766 8.9670 8.9681 -0.11 8.9727 -0.57
　　A03 19.496 9.7751 9.7720 0.31 9.7720 0.31
　　A04 18.801 9.0472 9.0471 0.01 9.0439 0.33
　　A09 18.921 9.0618 9.0705 -0.70 9.0544 0.74
　　A10 18.426 8.5527 8.5546 -0.11 8.5518 0.12
　　A11 16.578 6.8147 6.8144 0.03 6.8169 -0.22
　　A12 17.272 7.4893 7.4726 1.49 7.4743 1.50
　　A13 16.331 6.6292 6.6128 1.64 6.6114 1.78
　　A14 15.201 5.4211 5.4213 -0.02 5.4202 0.09
　　A16 17.042 7.2243 7.2259 -0.16 7.2283 -0.4
　　
　　由表3可以看出，经多面函数拟合得似大地水准面其最大偏差为1.64cm，符合精度要求。应用二次曲面拟合，其精度稍差一些，这是由于这一区域的特点所决定的，但精度也在允许范围之内。通过对比，充分说明了多面函数在GPS高程拟合中，可以以较高精度直接拟合某些曲面，而二次曲面只有当所拟合的曲面近似于单波峰或单波谷的曲面时，才可以获得较好的精度。通过计算该区域的高程异常值，发现该区域的高程异常面为多波峰的曲面，因此多面函数拟合的结果要好。
　　在函数拟合中，尝试了多种已知点的选取方案，认为当选取的已知点构成均匀对称的网形时，则可获得较好的拟合精度，反之拟合精度则偏低。如在多面函数拟合已知点的选取中，将A01、A05、A06、A07、A08、A15、A18、A20作为已知点。
　　4结论
　　（1）在某一区域中，通过选用合适的已知点，利用多面函数法拟合，可以达到必要的精度，而且可大大减小外业工作的操作强度。经过对该区域GPS高程拟合精度的分析，说明采用多面函数法拟合更适合。
　　（2）在高程异常变化较大的区域，一般成多曲面分布，单纯选择平面或单曲面拟合是不合理的，而多面函数法利用多个曲面逼近，克服了以上缺点。但同时应注意根据地形对核函数的选取，在此建议在用多面函数拟合GPS高程异常时，可选用几种核函数进行拟合比较，以找到最适合该地区的核函数模型。
　　（3）多面函数核函数的选取一定要结合该区域的实际情况，进行多次的计算才能确定。函数拟合中，已知点的选取应遵循均匀对称的原则。同时，对于二次曲面拟合，也有一定的适应范围。

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